Guzman

"Imagino que la generalizacion de la que me hablaste ( si he entendido bien, tu consideras tres direcciones de proyeccion --no necesariamente ortogonal-- desde un punto p, y quieres que los tres puntos obtenidos sobre los lados sean colineales, obteniendo que p ha de estar en una conica que pasa por los vertices) sera de tu cosecha. Si me das un referencia a tu aportacion la incluyo, tambien, en mis trabajos sobre el tema. Mejor aun seria que me enviases tus notas....Te dire que de forma automatica yo encuentro la ecuacion"

Has entendido bien la generalizacion de la que te hable. Efectivamente es de mi cosecha, pero el merito unico consiste en pensar en la posibilidad de que haya tal teorema. Solo se lo he contado a algunos amigos de aqui cerca. En mayo voy a exponerlo en un seminario.

La demostracion es muy sencilla sin ninguna cuenta en absoluto.

Si P(u,v) es el punto y alfa, beta y gamma son las direcciones de proyeccion
sobre los lados a, b, c respectivamente, entonces los pies R,S,T, son de coordenadas
(r1(u,v),r2(u,v)), (s1(u,v),s2(u,v)), (t1(u,v),t2(u,v)) siendo todas estas funciones lineales con coeficientes que solo dependen de los coeficientes de las rectas a,b,c, y de los vectores alfa,beta,gamma. Escribimos que el triangulo RST tiene area S mediante

determinante de la matriz de las coordenadas=2S= ecuacion fija (!) de segundo grado en u,v

Ahora ya es claro que, al variar S obtenemos una familia de conicas homoteticas. Para S=0 la conica correspondiente pasa por los vertices A,B,C. Es muy facil determinar el centro comun (o el eje de la parabola, cuando se trata de una parabola) y los ejes de toda la familia hallando centro y ejes de la correspondiente a S=0, ya que trazando paralelas a las direcciones de proyeccion dadas por los vertices obtenemos enseguida un hexagono con lados opuestos paralelos que tiene por diagonales los lados del triangulo ABC.

Guzman, M. (1999). An extension of the Wallace-Simson theorem: projecting in arbitrary directions . American Math. Monthly, 106(6), 574Ð580.

-- Valcarce, J.; Botana, F.: (re)Descubrimiento automatico del teorema de Simson y las generalizaciones de Steiner y Guzman. Suma, Revista sobre el aprendizaje y la ensennanza de las Matematicas 39, 63-67. 2002.

-- Giering, O.: Affine and projective generalization of Wallace lines. Journal for Geometry and Graphics 1 (2), 119-133. 1997.

Conica

Ideas de futuro trabajo...

Es divertido proponerse ahora ejercicios diversos para resolver por los medios de la geometria sintetica (regla y compas).
Cuando las conicas son circunferencias? (El caso de Simson no es el unico, pero casi)
Cuando son hiperbolas equilateras?
Cuando son parabolas?
Cuando hay degeneracion?
Dado ABC y una direccion, se pueden determinar las otras para que resulte, por
ejemplo una hiperbola equilatera?
.....

Un abrazo con mis saludos a Isabel e hijos.

Miguel

-- Roanes-Macias, E., Roanes-Lozano, E.: Automatic determination of geometric
loci. 3D-extension of Simson-Steiner theorem. Proceedings of Artificial Intelligence
and Symbolic Computation 2000, Lecture Notes in Artificial Intelligence, 1930,
157{173 (2000)